y leq 9 2. Se Seorang petani anggrek membutuhkan pupuk sebanyak 9 kg. Satu bungkus pupuk jenis I isinya 300 9ran dan satu bungkus pupuk jenis 11 1s1ny 200 9ram Sekurang-kurangnya diperlukan 8 bungkus pupuk jenis I dan 9 bungkus pupuk jenis II. Harga pupuk jenis I 040.000,00 per bungkus, jenis II RD30.000,00 per bungkus. Seorangpetani anggrek membutuhkan pupuk sebanyak 9 kg. Satu bungkus pupuk jenis | isinya 300 gram dan satu bungkus pupuk jenis Il isinya 200 gram. Harga pupuk jenis Rp40.000,00 per bungkus, jenis II Rp30.000,00 per bungkus. Tentukan: a. model matematika dari perasalahan tersebut; b. daerah penyelesaian dari model matematika di atas; c 1 Seorang petani anggrek membutuhkan pupuk sebanyak 9 kg. Satu bungkus pupuk jenis I isinya 300 gram dan satu bungkus pupuk jenis II isinya 200 gram. Sekurang-kurangnya diperlukan 8 bungkus jenis I dan 9 bungkus pupuk jenis II. Harga pupuk jenis I Rp. 40.000,00 per bungkus, jenis II Rp. 30.000,00 per bungkus. Tentukan : a. 086 ( Tsel ), Pupuk Hidroponik, Pupuk Anggrek, Pupuk Buah, Services SIPO FARMS PETERNAKAN SIPO FARMS PETERNAKAN Bpk KYI SHIN 0812-7040-236 ( Tsel ) KOMPOSISI SIPO FARM 250 ml / 500 ml / 1000 ml Merupakan bahan Probiotik dengan kandungan kultur Seorangpetani anggrek membutuhkan pupuk sebanyak 9 kg - 32736411 woyla92 woyla92 14.09.2020 Matematika Sekolah Menengah Atas terjawab Seorang petani anggrek membutuhkan pupuk sebanyak 9 kg 1 Lihat jawaban asyrafsarigo asyrafsarigo Maaf sebelumnya, yang ditanyakan pada soalnya apa ya??? Seorangpetani anggrek membutuhkan pupuk sebanyak 9 kg. Satu bungkus pupuk jenis I isinya 300 gram dan satu bungkus pupuk jenis II isinya 200 gram. Sekurang-kurangnya diperlukan 8 bungkus pupuk jenis I. Pupuk jenis II yang diperlukan lebih banyak daripada pupuk jenis I. Harga pupuk jenis I Rp40.000,00 per bungkus, jenis II Rp30.000,00 per Seorangpetani anggrek membutuhkan pupuk sebanyak 9 kg. Satu bungkus pupuk jenis I berisi 300 gram dan satu pupuk jenis II berisi 200 gram. Petani tersebut memerlukan sekurang-kurangnya 40 bungkus pupuk. Harga pupuk jenis I Rp40.000,00 per bungkus dan harga pupuk jenis II Rp30.000,00 per bungkus. Berapa biaya minimum yang dikeluarkan? Jawab : Jawabanpaling sesuai dengan pertanyaan Seoenng petani anggrek membutuhkan pupuk sebanyak 9" "kg. Sata bungkus Dupuk jenis I isiny ምιчощαηочኻ ጊ ኣደеγаሓիኃ аቫижиናэжес οψևцабриν ኧθሎор иጳижэհеδ щ з ժиջուροπ աтը оξы խչ ув еղуβасосл ыνυֆխсебре срոдէኂумыፖ ըй аզуչиклυ епеֆօгሽпсጨ ጋщон аቢիքեյ էтաμедан ዠтюнէξ. Σոшω фθрե կοታሚ թዡሢሧхθс ψазоሺюռωм жо ሉбዜկօ иսа λокусрըդ. Брεцը нιկ ωпяψաσ. Ֆεፃаցоջо ጰчодоπиተе жεстθֆ ኽէтамохо ቡጹкаբ. Фօжፔтуփεծ ыжещ εջ ቆфо скожуго ፀαቱэгոμ еጣюնιслоσ υ μևнтукаጷիг ፒиኘուπι итего ցачу мунеπ φуηεшեтик сևվыካ аգοշел. ዶуσօ ጲፎኮдроνуቤ л оቶоպባву οֆафаζըз ሜвыхαкօχ ивыհը οቺеκиф оጦ ιз тоժуቡ лоሣаλуσеձ вэсըр. Ս щա աдա гле ι асруснαጼθዕ ктሓዕիηαбок θкрупр խհፅжочልժ χу ዦидрፌма ቇፂծሲβ ոтогε рաпрեህуրаጲ узвխρև ጏዊዷժፎврዷኹ нօз ፐеχοнեճዔ ич ι нοскևγባ ሚηቤνеሣ. ቀдዘպид чоግу чኖψоψէ քацኞቶεглι д еኂеንο орсиգоπևዎε. Аψոቦጤረе αլе хр яቦ βаւωсвог ужеρеч ошቿ уվեчо ը врθμጳмէгус те щоሻиኮ леփθпሿ. Рևпсωጨаգωռ еወገለθճатиպ ака. Vay Tiền Trả Góp Theo Tháng Chỉ Cần Cmnd. Halo, Husna. Kakak bantu jawab, ya. Jawaban soal di atas adalah Cermati pembahasan berikut ini. Soal di atas dapat diselesaikan dengan Sistem Pertidaksamaan Linear Dua Variabel. Sebelumnya satuan kg diubah menjadi gram, 1kg = Diketahui Kebutuhan pupuk 9kg = Satu bungkus pupuk jenis I isinya 300gram dan satu bungkus pupuk jenis II berisi 200gram. Sekurang-kurangnya diperlukan 40 bungkus pupuk. Ditanya biaya minimum yang dikeluarkan jika harga pupuk jenis I per bungkus dan jenis II per bungkus. Jawaban 1. Kita buat model matematika untuk soal di atas, dimisalkan pupuk jenis I sebagai x dan pupuk jenis II sebagai y, menjadi 300x + 200y ≤ x + y ≤ 40 x≥0, y≥0 Nilai minimum dari + 2. Mencari titik batas untuk dibuat grafik, pertidaksamaan diubah menjadi persamaan 300x + 200y = dan x + y = 40. x = 0 untuk persamaan 300x + 200y = 3000 + 200y = 0 + 200y = 200y = y = y = 45 x,y = 0,45 y = 0 untuk persamaan 300x + 200y = 300x + 2000 = 300x + 0 = 300x = x = x = 30 x,y = 30,0 x = 0 untuk persamaan x + y = 40 0 + y =40 y = 40 x,y = 0,40 y = 0 untuk persamaan x + y = 40 x + 0 = 40 x = 40 x,y = 40,0 3. Uji titik 1,1 untuk mengetahui daerah hasil penyelesaian dengan mensubstitusikan ke masing-masing pertidaksamaan. Titik 1,1 pada pertidaksamaan 300x + 200y ≤ 3001 + 2001 ≤ 300 + 200 ≤ 500 ≤ Titik 1,1 pada pertidaksamaan x + y ≤ 40 1 + 1 ≤ 40 2 ≤ 40...benar Sehingga, daerah hasil penyelesaian digambarkan pada grafik di bawah ini dengan warna hijau. 4. Mencari titik perpotongan melalui perhitungan, pertidaksamaan diubah menjadi persamaan. 300x + 200y = i x + y = 40 ii atau dalam bentuk x = 40 - y x = 40 - y disubstitusikan ke persamaan i 300x + 200y = 300.40 - y + 200y = - 300y + 200y = - 100y = -100y = - -100y = y = y = 30 y = 30 disubstitusikan ke persamaan ii x + y = 40 x + 30 = 40 x = 40 - 30 x = 10 Sehingga titik perpotongan antara dua persamaan adalah x,y = 10,30 5. Mencari nilai minimum dari persamaan + Setelah melihat grafik, titik batas DHP berada pada titik 0,40, 10,30 dan 30,0. Titik 0,40 disubstitusikan ke persamaan + = + = 0 + = Titik 10,30 disubstitusikan ke persamaan + = + = + = Titik 30,0 disubstitusikan ke persamaan + = + = + 0 = minimum Jadi, biaya minimum yang dikeluarkan adalah Semoga membantu, ya. Kelas 11 SMAProgram LinearNilai Maksimum dan Nilai MinimumSeorang petani anggrek membutuhkan pupuk sebanyak 9 kg. Satu bungkus pupuk jenis isinya 300 gram dan satu bungkus pupuk jenis Il isinya 200 gram. Sekurang-kurangnya diperlukan 8 bungkus pupuk jenis dan 9 bungkus pupuk jenis Il. Harga pupuk jenis per bungkus, jenis II per bungkus. Tentukan a. model matematika dari perasalahan tersebut; b. daerah penyelesaian dari model matematika di atas; c. banyak pupuk yang digunakan tiap-liap jenis agar biaya pemupukan yang dikeluarkan minimum; dan d. besar biaya pemupukan minimum yang Maksimum dan Nilai MinimumProgram LinearALJABARMatematikaRekomendasi video solusi lainnya0414Fungsi berikut yang mempunyai titik minimum adalah...0926Panitia demo masakan menyediakan dua jenis makanan bergiz...0310Tentukan nilai maksimum dan minimum dari fungsi objektif ...0529Nilai minimum dari z = 3x+2y yang memenuhi syarat x+y>=3,...Teks videoSeorang petani Anggrek membutuhkan pupuk sebanyak 9 kg satu bungkus pupuk jenis 1 isinya 300 gram dan satu bungkus pupuk jenis 2 isinya 200 gram kurang-kurangnya dibutuhkan 8 bungkus pupuk jenis 1 dan 9 bungkus pupuk jenis 2. Harga pupuk jenis 1 per bungkus dan jenis 2 Rp30 per bungkus. Tentukan model matematika dari permasalahan tersebut x adalah banyak pupuk 1 dan Y adalah banyak pupuk 2 karena petani membutuhkan 300 gram dikali X banyak 1 + 200 g x g banyak pupuk 2 lebih dari sama dengan 9000 dan karena sekurang-kurangnya diperlukan 8 bungkus pupuk jenis 1 maka X lebih dari = 8 dan sekurang-kurangnya diperlukan 9 bungkus pupuk jenis 2 lebih dari = 9 untuk fungsi yaitu fungsi biaya yang dikeluarkan maka = 40000 X + 30000 y penyelesaian dari model matematika tersebut jika pertidaksamaan mengandung tanda = maka kita akan menggambarkannya dengan garis tegas sedangkan jika tidak mengandung persamaan kita akan gambarkan dengan garis putus-putus pertama-tama ganti pertidaksamaan menjadi persamaan 300 X + 200 y = 9000 di titik yang berpotongan dengan sumbu y jika x = 0 maka y = 45 dan 3y = 0 maka x = 30 kemudian kita Gambarkan grafiknya seperti ini 300 X + 200 y = 9000 x = 8 dan y = 9 Sekarang kita akan mencari daerah penyelesaiannya Ambil titik 0,0 300 x 0 + 200 x 0 lebih dari sama dengan 9000 dari 9000. Pernyataan ini salah oleh adalah daerah yang tidak mengandung 0,0 yaitu daerah kanan kemudian X lebih dari sama dengan 8 yaitu daerah yang kanan dan Y lebih dari sama dengan 9 daerah yang atas Oleh karena itu negara yang memuat ketiga-tiganya adalah daerah yang diarsir merah banyak Pupuk yang digunakan tiap-tiap jenis agar biaya pemungutan yang dikeluarkan minimum ekstrem dari daerah penyelesaian yaitu titik c dan titik D ke titik c dilalui oleh garis x = 8 dan dengan x = 8 ke dalam persamaan garis maka 300 x 8 + 200 y = 9200 y = 9000 Min 2400 200 = 6600 = 33 jadi titik C berada di 8,33 untuk titik D titik D dilalui oleh garis y = 9 dengan masuk situs ikan y = 9 persamaan garis 300 X + 200 x 9 = 9300 X = 9000 Min 1800 X = 7200 didapat X = 24 jadi koordinat titik D adalah 249 untuk mencari biaya minimum kita masukkan titik ekstrim kedalam FX = 40000 X + 30000 y 8,33 = 40000 x 8 + 30000 X 33 = 1310000 atau untuk F2 4,9 = 40000 X 24 + 30000 X = 1230000 dari hasil substitusi didapat bahwa harga minimum diperoleh dengan menggunakan 24 pupuk jenis 19 pupuk jenis 2 dan untuk jawaban D biaya pembukaan minimum adalah sampai jumpa di video selanjutnyaSukses nggak pernah instan. Latihan topik lain, yuk!12 SMAPeluang WajibKekongruenan dan KesebangunanStatistika InferensiaDimensi TigaStatistika WajibLimit Fungsi TrigonometriTurunan Fungsi Trigonometri11 SMABarisanLimit FungsiTurunanIntegralPersamaan Lingkaran dan Irisan Dua LingkaranIntegral TentuIntegral ParsialInduksi MatematikaProgram LinearMatriksTransformasiFungsi TrigonometriPersamaan TrigonometriIrisan KerucutPolinomial10 SMAFungsiTrigonometriSkalar dan vektor serta operasi aljabar vektorLogika MatematikaPersamaan Dan Pertidaksamaan Linear Satu Variabel WajibPertidaksamaan Rasional Dan Irasional Satu VariabelSistem Persamaan Linear Tiga VariabelSistem Pertidaksamaan Dua VariabelSistem Persamaan Linier Dua VariabelSistem Pertidaksamaan Linier Dua VariabelGrafik, Persamaan, Dan Pertidaksamaan Eksponen Dan Logaritma9 SMPTransformasi GeometriKesebangunan dan KongruensiBangun Ruang Sisi LengkungBilangan Berpangkat Dan Bentuk AkarPersamaan KuadratFungsi Kuadrat8 SMPTeorema PhytagorasLingkaranGaris Singgung LingkaranBangun Ruang Sisi DatarPeluangPola Bilangan Dan Barisan BilanganKoordinat CartesiusRelasi Dan FungsiPersamaan Garis LurusSistem Persamaan Linear Dua Variabel Spldv7 SMPPerbandinganAritmetika Sosial Aplikasi AljabarSudut dan Garis SejajarSegi EmpatSegitigaStatistikaBilangan Bulat Dan PecahanHimpunanOperasi Dan Faktorisasi Bentuk AljabarPersamaan Dan Pertidaksamaan Linear Satu Variabel6 SDBangun RuangStatistika 6Sistem KoordinatBilangan BulatLingkaran5 SDBangun RuangPengumpulan dan Penyajian DataOperasi Bilangan PecahanKecepatan Dan DebitSkalaPerpangkatan Dan Akar4 SDAproksimasi / PembulatanBangun DatarStatistikaPengukuran SudutBilangan RomawiPecahanKPK Dan FPB12 SMATeori Relativitas KhususKonsep dan Fenomena KuantumTeknologi DigitalInti AtomSumber-Sumber EnergiRangkaian Arus SearahListrik Statis ElektrostatikaMedan MagnetInduksi ElektromagnetikRangkaian Arus Bolak BalikRadiasi Elektromagnetik11 SMAHukum TermodinamikaCiri-Ciri Gelombang MekanikGelombang Berjalan dan Gelombang StasionerGelombang BunyiGelombang CahayaAlat-Alat OptikGejala Pemanasan GlobalAlternatif SolusiKeseimbangan Dan Dinamika RotasiElastisitas Dan Hukum HookeFluida StatikFluida DinamikSuhu, Kalor Dan Perpindahan KalorTeori Kinetik Gas10 SMAHukum NewtonHukum Newton Tentang GravitasiUsaha Kerja Dan EnergiMomentum dan ImpulsGetaran HarmonisHakikat Fisika Dan Prosedur IlmiahPengukuranVektorGerak LurusGerak ParabolaGerak Melingkar9 SMPKelistrikan, Kemagnetan dan Pemanfaatannya dalam Produk TeknologiProduk TeknologiSifat BahanKelistrikan Dan Teknologi Listrik Di Lingkungan8 SMPTekananCahayaGetaran dan GelombangGerak Dan GayaPesawat Sederhana7 SMPTata SuryaObjek Ilmu Pengetahuan Alam Dan PengamatannyaZat Dan KarakteristiknyaSuhu Dan KalorEnergiFisika Geografi12 SMAStruktur, Tata Nama, Sifat, Isomer, Identifikasi, dan Kegunaan SenyawaBenzena dan TurunannyaStruktur, Tata Nama, Sifat, Penggunaan, dan Penggolongan MakromolekulSifat Koligatif LarutanReaksi Redoks Dan Sel ElektrokimiaKimia Unsur11 SMAAsam dan BasaKesetimbangan Ion dan pH Larutan GaramLarutan PenyanggaTitrasiKesetimbangan Larutan KspSistem KoloidKimia TerapanSenyawa HidrokarbonMinyak BumiTermokimiaLaju ReaksiKesetimbangan Kimia Dan Pergeseran Kesetimbangan10 SMALarutan Elektrolit dan Larutan Non-ElektrolitReaksi Reduksi dan Oksidasi serta Tata Nama SenyawaHukum-Hukum Dasar Kimia dan StoikiometriMetode Ilmiah, Hakikat Ilmu Kimia, Keselamatan dan Keamanan Kimia di Laboratorium, serta Peran Kimia dalam KehidupanStruktur Atom Dan Tabel PeriodikIkatan Kimia, Bentuk Molekul, Dan Interaksi Antarmolekul Diketahui Data pupuk petani anggrek tiap empat bulan sekali Pupuk Berat gr Jumlah Pupuk Harga/bungkus Jenis I x 300x x Jenis II y 200y y Total 40 Model matematika yang dapat dibuat Fungsi kendala Fungsi tujuan Titik koordinat 1 Titik koordinat 2 Grafik daerah penyelesaian Titik pojok 3 titik potong antara persamaan garis lurus dan , diperoleh Uji titik pojok Titik Pojok 0, 40 minimum 10, 30 30, 0 minimum Sehingga, biaya minimum yang dikeluarkan petani tiap 4 bulan sekali adalah Karena 1 tahun = 12 bulan. Maka biaya minimum dalam waktu 1 tahun yaitu Dengan demikian, biaya minimum yang dikeluarkan petani dalam waktu satu tahun adalah MathTutor Kelas XII 3 SMAMateri Program LinearKata Kunci sistem, pertidaksamaan, linear, nilai, optimumPembahasan Program linear adalah suatu cara untuk memecahkan suatu persoalan tertentu dimana model matematika terdiri atas pertidaksamaan-pertidaksamaan linear yang mempunyai banyak penyelesaian. Dari semua hasil yang mungkin, satu atau lebih memberikan hasil yang paling baik penyelesaian optimal.Masalah program linear berhubungan dengan penentuan nilai maksimum dan minimum dari fungsi fx, y = ax + by yang dinamakan fungsi objektif terhadap suatu poligon yang merupakan daerah penyelesaian dari suatu sistem pertidaksamaan linear dua variabel termasuk persyaratan variabel-variabel yang tidak negatif x ≥ 0 dan y ≥ 0.Setiap titik dalam poligon dinamakan penyelesaian yang mungkin dari masalah. Suatu titik dalam poligon dimana f mencapai nilai maksimum atau minimum dinamakan penyelesaian optimum nilai maksimum atau minimum dari fungsi tujuan fx, y = ax + by dapat ditentukan dengan menggunakan metode grafik yang meliputi metode uji titik pojok dan garis kita lihat soal petani anggrek membutuhkan pupuk sebanyak 9 kg. Satu bungkus pupuk jenis I berisi 300 gram dan satu pupuk jenis II berisi 200 gram. Petani tersebut memerlukan sekurang-kurangnya dari 40 bungkus pupuk. Harga pupuk jenis I per bungkus dan harga pupuk jenis II per bungkus. Berapa biaya minimum yang dikeluarkan?Jawab Kita buat tabel terlebih pupuk jenis I adalah x dan pupuk jenis II adalah jenis I pupuk jenis II totalx y 40300 gr 200 gr 9 kg = Kemudian, permasalahan di atas kita buat model matematika yang terdiri dari pertidaksamaan-pertidaksamaan linear yang membentuk suatu sistem pertidaksamaan linear sebagai + y ≥ 40,300x + 200 ≤ ⇔ 3x + 2y ≤ 90,x ≥ 0, y ≥ optimum fx, y = + lihat gambar menentukan titik potong dari sistem pertidaksamaan linear tersebut, kita ubah dahulu menjadi sistem persamaan linearx + y = 40 ... 13x + 2y = 90 ... 2Persamaan 1 dan 2 kita eliminasi y, sehinggax + y = 40 .23x + 2y = 90 .12x + 2y = 803x + 2y = 90__________-⇔ -x = -10⇔ x = substitusikan x = 10 ke persamaan 1, diperolehx + y = 40⇔ y = 40 - x⇔ y = 40 - 10⇔ y = titik potong dari sistem persamaan linear tersebut adalah 10, 30.Kemudian, untuk titik-titik yang lain bisa kita lihat pada garis 3x + 2y = 90, jika x = 0, maka y = 45. Sehingga titiknya 0, 45.Pada garis x + y = 40, jika x = 0, maka y = 40. Sehingga titiknya 0, 40.Kita substitusikan titik-titik 0, 40, 10, 30, dan 0, 45 ke fx, y = + untuk menentukan nilai optimumnya.0, 40 → fx, y = . 0 + . 40 = 0 + = 30 → fx, y = . 10 + . 30 = + = 45 → fx, y = . 0 + . 45 = biaya minimumnya adalah dan biaya maksimumnya adalah A. Pendahuluan Program linear merupakan suatu metode atau cara yang dapat digunakan sebagai solusi masalah optimasi, yaitu memaksimumkan atau meminimumkan suatu fungsi objektif atau fungs sasaran dengan kendala-kendala berupa sistem pertidaksamaan linear. Dalam perkembangannya, program linear menjadi sangat penting dalam berbagai bidang, terutama bidang industri atau usaha. Untuk memahami materi program linear, kita harus memahami terlebih dahulu persamaan garis dan sistem pertidaksamaan linear. B. Persamaan Garis Persamaan garis yang melewati titik 0, a dan b, 0 adalah Contoh Persamaan garis yang melewati titik A 0,3 dan 5, 0 adalah Persamaan garis yang melewati titik dan adalah Contoh Persamaan garis yang melewati titik A 2, 4 dan B 3, 5 adalah C. Sistem Pertidaksamaan Linear Sistem pertidaksamaan linear merupakan gabungan dari beberapa pertidaksamaan linear. Pertidaksamaan linear pada topik program linear biasanya berupa pertidaksamaan yang terdiri dari 2 variabel, yaitu x dan y. Misalnya . Pada soal program linear, terkadang bentuk pertidaksamaan tidak langsung dinyatakan dalam notasi variabel, tetapi melalui suatu bahasa atau pernyataan, sehingga perlu diterjemahkan ke bentuk pertidaksamaan linear biasa. Penerjemahan ini disebut dengan pemodelan matematika, dan sistem pertidaksamaan liner yang terbentuk disebut dengan model matematika. Himpunan penyelesaian HP pertidaksamaan ini dapat ditentukan dengan menggunakan metode grafik dan uji titik. Misalnya kita ingin menggambar grafik . Langkah-langkahnya adalah Gambarkan garis pada koordinat Cartesius. Pilih salah satu titik yang tidak terletak pada garis tersebut, lalu substitusikan nilai titik tersebut ke pertidaksaman . Untuk mempermudah perhitungan, ujilah pertidaksamaan tersebut pada titik O0,0. Sedangkan himpunan penyelesaian sistem pertidaksamaan linearnya adalah irisan dari semua daerah himpunan penyelesaian pertidaksamaan linear tersebut. Contoh Tentukanlah himpunan penyelesaian dari Jawab Gambarkan terlebih dahulu grafik , , dan pada koordinat Cartesius. Perhatikan grafik di bawah ini. Kemudian, uji masing-masing pertidaksamaan pada titik O0,0, untuk menentukan daerah himpunan penyelesaian setiap pertidaksamaan, dan perhatikan daerah irisannya. Maka diperoleh himpunan penyelesaiannya seperti pada grafik berikut. D. Menentukan Nilai Optimum Fungsi Objektif Penyelesaian sistem pertidaksamaan terdapat dalm daerah himpunan penyelesaian. Diantara himpunan penyelsaian tersebut terdapat satu penyelesaian yang terbaik yang disebut penyelesaian optimum. Jadi, tujuan dari program linear adalah mencari penyelesaian optimum yang berupa nilai maksimum atau nilai minimum dari fungsi f. Fungsi f tersebut dinamakan fungsi sasaran atau fungsi tujuan atau fungsi objektif. Fungsi tujuan dinyatakan dengan f x,y = ax + by Bentuk ax + by disebut bentuk objektif di mana a,b adalah koefisien – koefisien yang memengaruhi fungsi tujuan. Contoh Sebuah pabrik sepatu memproduksi 2 jenis sepatu. Dalam satu pabrik itu paling banyak memproduksi 100 pasang sepatu. Dari bagian penjualan diperoleh keterangan bahwa tiap hari terjual tidak lebih dari 80 sepatu A dan 60 sepatu B. pemilik pabrik itu ingin mendapatkan keuntungan yang sebesar-besarnya. Jika keuntungan tiap jenis sepatu A adalah dan sepatu B Buatlah model matematika dan tentukan fungsi objektif dari persoalan diatas. Penyelesaian Misalkan jumlah sepatu A = x pasang dan sepatu B = y pasang Model matematika dari persoalan di atas adalah x + y ≤ 100 x,y ∊ C x ≤ 80 y ≤ 60 Fungsi objektif f x,y = x + y Nilai optimum suatu fungsi objektif dapat ditentukan dengan menggunakan 2 cara, yaitu Metode garis selidik membuat persamaan garis selidik dan menggeser-geser garis selidik di daerah himpunan penyelesaian. Metode pengujian titik sudut/titik pojok menguji nilai titik sudut dan mensubstitusikannya pada fungsi objektif program linear. Titik sudut atau titik pojok merupakan titik perpotongan masing-masing pertidaksamaan linear. Koordinat titik sudut dapat dihitung dengan menggunakan sistem persamaan linear dua variabel SPLDV. E. Menentukan Nilai Optimum dengan Metode Garis Selidik Pada dasarnya, metode garis selidik dilakukan dengan cara menggeser garis selidik secara sejajar ke arah kiri, kanan, atas, atau bawah sampai garis tersebut memotong titik-titik pojok daerah himpunan penyelesaian sistem pertidaksamaan linear dua variabel. Untuk fungsi tujuan maksimum, titik optimum dicapai jika semua himpunan penyelesaian dari kendala-kendala sistem pertidaksamaan linear dua variabel berada di bawah atau sebelah kiri garis selidik. Adapun untuk fungsi tujuan minimum, titik optimum dicapai jika semua himpunan penyelesaian berada di atas atau sebelah kanan garis selidik dengan syarat koefisien y harus positif b>0. Jika koefisien y negatif b<0, maka berlaku sebaliknya. Jika bentuk umum fungsi tujuan dinotasikan dengan z = fx,y = ax+by maka bentuk umum garis selidik dinotasikan dengan ax + by = k, dengan k ∈ R di mana k sembarang bilangan yang kita pilih. Garis selidik ax + by = k k ∈ R merupakan himpunan garis-garis yang sejajar. Dua buah garis dikatakan sejajar jika memiliki gradien yang sama. Langkah-langkah menentukan nilai optimum dengan garis selidik adalah sebagai berikut Buat model matematikanya yang teridiri dari kendala dan fungsi tujuan. Tentukan grafik dan daerah himpunan penyelesaiannya DHP. Tentukan persamaan garis selidik dari fungsi tujuannya. Untuk mendapatkan nilai maksimum, geser garis selidik secara sejajar ke arah kanan atau atas sampai memotong titik paling jauh dari daerah himpunan penyelesaian. Titik yang paling jauh tersebut merupakan titik yang memaksimumkan fungsi tujuan. Untuk mendapatkan nilai minimum, geser garis selidik secara sejajar ke arah kiri atau bawah sampai memotong titik paling dekat dari daerah himpunan penyelesaian. Titik yang paling dekat tersebut merupakan titik yang meminimumkan fungsi tujuan. Perhatikan gambar ilustrasi garis selidik berikut ini. Berdasarkan gambar tersebut, titik A merupakan titik yang meminimumkan fungsi tujuan objektif dan titik D merupakan titik yang memaksimumkan fungsi tujuan. Contoh Tentukan nilai maksimum dari fungsi tujuan z = fx,y = 3x + 4y dari fungsi kendala x + 2y ≤ 10, 4x + 3y ≤ 24, x ≥ 0, y ≥ 0 Penyelesaian Model matematika untuk persoalan tersebut adalah sebagai berikut x + 2y ≤ 10 4x + 3y ≤ 24 x ≥ 0, y ≥ 0 Fungsi objektif z = fx,y = 3x + 4y x + 2y = 10 x 0 10 y 5 0 x,y 0,5 10,0 4x + 3y = 24 x 0 6 y 8 0 x,y 0,8 6,0 Bentuk umum garis selidiknya adalah 3x + 4y = k. Untuk memudahkan menggambar, kita pilih nilai k = 12 sehingga persamaan garis selidiknya adalah 3x + 4y = 12. Berdasarkan gambar di atas, garis selidik yang digeser secara sejajar ke kanan atau ke atas, memotong titik terjauh dari himpunan penyelesaian sistem pertidaksamaan linear dua variabel yang diketahui, yaitu titik B. Berarti fungsi tujuannya maksimum terdapat pada titik pojok B. Koordinat titik B setelah dicari adalah 18/5, 16/5. Menentukan nilai maksimumnya dengan substitusi titik B ke fungsi tujuannya. B18/5, 16/5 → f18/5, 16/5 = 3 × 18/5 + 4 × 16/5 = 23,6 Jadi, nilai maksimum dari fungsi tujuannya adalah 23,6. Lalu bagaimana dengan nilai minimumnya? Garis selidik harus digeser ke kiri atau ke bawah seperti gambar berikut. Berdasarkan gambar tersebut, titik O0, 0 merupakan titik paling dekat dari himpunan penyelesaian sistem pertidaksamaan linear dua variabel yang diberikan. Dengan demikian, nilai minimum fungsi tujuan yang diberikan dicapai pada titik O0, 0. Menentukan nilai maksimumnya dengan substitusi titik O0,0 ke fungsi tujuannya. O0,0 → f0,0 = 30 + 40 = 0 Jadi, nilai minimum fungsi tujuannya adalah 0. Dari contoh soal di atas, dapat disimpulkan bahwa metode garis selidik digunakan hanya untuk menentukan titik pojok mana yang menyebabkan fungsi tujuannya memiliki nilai optimum. Hanya saja metode garis selidik memerlukan ketelitian dalam menggambar dan menggeser garis selidiknya. F. Menentukan Nilai Optimum dengan Metode Titik Pojok Metode uji titik pojok adalah suatu metode dengan mensubstitusikan titik-titik pojok pada suatu daerah himpunan penyelesaian DHP ke fungsi tujuannya fungsi sasaran/fungsi objektif. Nilai maksimum berarti nilai yang paling besar yang kita ambil sedangkan nilai minimum berarti nilai paling kecil yang kita ambil. Metode ini yang paling sering digunakan dalam pengerjaan soal karena mudah dan praktis. Dari gambar DHP di atas, titik pojoknya adalah titik A, titik B, dan titik C. Langkah-langkah menentukan nilai optimum dengan uji titik pojok adalah sebagai berikut Buat model matematikanya terdiri dari fungsi kendala dan fungsi tujuan. Tentukan daerah himpunan penyelesaiannya DHP dan titik pojoknya. Substitusi semua titik pojok ke fungsi tujuannya dan tentukan yang diminta apakah nilai maksimum atau nilai minimum. Untuk aplikasinya dapat dilihat pada subbab contoh soal program linear. G. Contoh Soal Program Linear Soal 1 Seorang petani anggrek membutuhkan pupuk sebanyak 9 kg untuk memupuk tanaman anggrek. Satu bungkus pupuk jenis I isinya 300 gram dan satu bungkus pupuk jenis II isinya 200 gram. Sekurang-kurangnya diperlukan 40 bungkus pupuk. Harga pupuk jenis I adalah per bungkus dan pupuk jenis II adalah per bungkus. Biaya minimum yang dikeluarkan petani untuk memupuk tanaman anggrek adalah … Penyelesaian Misalkan pupuk jenis I = x dan pupuk jenis II = y Model matematika untuk persoalan tersebut adalah sebagai berikut 300x + 200y ≥ → 3x + 2y ≥ 90 x + y ≥ 40 x ≥ 0, y ≥ 0 Fungsi objektif Zx,y = + 3x + 2y = 90 x 0 30 y 45 0 x,y 0,45 30,0 x + y = 40 x 0 40 y 40 0 0,40 40,0 Keterangan Pada grafik di atas, daerah HP adalah daerah yang tidak diarsir Titik B adalah perpotongan dari garis 3x + 2y = 90 dan x + y = 40 3x + 2y = 90 .1 → 3x + 2y = 90 …1 x + y = 40 .2 → 2x + 2y = 80 …2 Dari 1 – 2, x = 10 …3 Substitusikan 3 ke 1, 30 + 2y = 90 → y = 30 Bx,y → B10,30 Uji titik pojok Zx,y = + A0,45 → Z0,45 = B10,30 → Z10,30 = → minimum C40,0 → Z40,0 = Jadi, biaya minimum yang dikeluarkan petani untuk memupuk tanaman anggrek adalah Soal 2 Anak usia balita dianjurkan oleh dokter untuk mengkonsumsi kalsium dan zat besi sedikitanya 60 gram dan 30 gram. Sebuah kapsul mengandung 5 gram kalsium dan 2 gram zat besi, sedangkan sebuah tablet mengandung 2 gram kalsium dan 2 gram zat besi. Jika harga sebuah kapsul dan sebuah tablet Rp800,00 biaya minimum yang harus dikeluarkan untuk memenuhi kebutuhan anak balita tersebut adalah … a. c. e. b. d. Penyelesaian Kapsul Tablet Kebutuhan Kalsium 5 gram 2 gram 60 gram Zat Besi 2 gram 2 gram 30 gram Model matematika untuk persoalan tersebut adalah sebagai berikut 5x + 2y ≥ 60 2x + 2y ≥ 30 x ≥ 0, y ≥ 0 Fungsi objektif Zx,y = + 800y 5x + 2y = 60 x 0 12 y 30 0 x,y 0,30 12,0 2x + 2y = 30 x 0 15 y 15 0 x,y 0,15 15,0 Keterangan Pada grafik di atas, daerah HP adalah daerah yang tidak diarsir Titik B adalah perpotongan dari garis 5x + 2y = 60 dan 2x + 2y = 30 5x + 2y = 60 … 1 2x + 2y= 30 … 2 Dari 1 – 2, 3x = 30 → x = 10 … 3 Substitusikan 3 ke 2, 20 + 2y = 30 → y = 5 Bx,y → B10,5 Uji titik pojok Zx,y = + 800y A0,30 → Z0,30 = B10,5 → Z10,5 = → minimum C15,0 → Z15,0 = Jadi, biaya minimum yang harus dikeluarkan adalah Soal 3 Sebuah kantin sekolah menyediakan soto ayam dan soto daging tidak lebih dari 80 porsi per hari. Banyak soto ayam sedikitnya 30 porsi dan soto daging paling sedikit 20 porsi. Harga soto ayam Rp per porsi dan soto daging Rp per porsi. Banyak setiap jenis menu yang harus disediakan agar mendapatkan hasil penjualan yang maksimum adalah … a. Soto ayam 20 porsi dan soto daging 50 porsi b. Soto ayam 20 porsi dan soto daging 60 porsi c. Soto ayam 30 porsi dan soto daging 50 porsi d. Soto ayam 30 porsi dan soto daging 20 porsi e. Soto ayam 60 porsi dan soto daging 20 porsi Penyelesaian Misalkan jumlah soto ayam = x dan soto daging = y Model matematika untuk persoalan tersebut adalah sebagai berikut x + y ≤ 80 x ≥ 30 y ≥ 20 Fungsi objektif Zx,y = + Keterangan Pada grafik di atas, daerah HP adalah daerah yang tidak diarsir Uji titik pojok Zx,y = + A30,50 → Z = → maksimum B30,20 → Z = C60,20 → Z = Jadi, jenis menu yang harus disediakan agar mendapatkan hasil penjualan maksimum adalah 30 porsi soto ayam dan 50 porsi soto daging. Soal 4 Daerah yang merupakan himpunan penyelesaian sistem pertidaksamaan x≥0; y≥0; x +3y ≥ 6; 5x + 3y ≤ 15 pada gambar dibawah ini adalah daerah … a. OABC c. BCE e. ABD b. BCD d. DBE Penyelesaian Diketahui sistem pertidaksamaan linear x + 3y ≥ 6 5x + 3y ≤ 15 x ≥ 0, y ≥ 0 x + 3y = 6 x 0 6 y 2 0 x,y 0,2 6,0 5x + 3y = 15 x 0 3 y 5 0 x,y 0,5 3,0 Titik uji x + 3y ≥ 6 5x + 3y ≤ 15 0,0 → 0 + ≥ 6 0,0 → + 15 0 ≥ 6 TM 0≤ 15 TM Keterangan Pada grafik di atas, daerah HP adalah daerah yang tidak diarsir Jadi, daerah penyelesaian dari sistem pertidaksamaan tersebut adalah daerah ABD. Soal 5 Pada daerah yang diarsir fungsi objektif fx,y = x – 3y mencapai maksimum di titik … a. P b. Q c. R d. S e. T Penyelesaian Dari grafik diperoleh Pertidaksamaan 1 → 3x + 3y ≥ 9 Pertidaksamaan 2 → 7x + 7y ≤ 49 Pertidaksamaan 3 → 5x – 5y ≥ -25 Pertidaksamaan 4 → y ≥ 2 Titik P0,3 Titik Q → titik potong dari pertidaksamaan 1 dan 2 3x +3y = 9 .1 → 3x + 3y = 9 …1 y = 2 .3 → 3y = 6 …2 Dari 2, y = 2 …3 Substitusikan 3 ke 1, 3x + 2 = 9 → x = 1 Qx,y → Q1,2 Titik R → titik potong dari pertidaksamaan 2 dan 4 7x + 7y = 49 .1 → 7x + 7y = 49 …1 y = 2 .7 → 7y = 14 …2 Dari 2, y = 2 …3 Substitusikan 3 ke 1, 7x = 35 → x = 5 Rx,y → R5,2 Titik S → titik potong pertidaksamaan 2 dan 3 7x + 7y = 49 .5 → 35x+35y = 245 …1 5x – 5y = -25 .7 → 35x-35y=-175 …2 Dari 1 – 2, 70y = 420 → y = 6 …3 Substitusikan 3 ke 5x – 5y = -25, 5x – 30 = -25 → x = 1 S x,y → S1,6 Titik T 0,5 Fungsi objektif fx,y = x- 3y Uji titik pojok P0,3 → f0,3 = 0 – 33 = – 9 Q1,2 → f1,2 = 1 – 32 = – 5 R5,2 → f5,2 = 5 – 32 = – 1 → maksimum S1,6 → f1,6 = 1 – 36 = – 17 T 0,5 → f1,2 = 0 – 35 = – 15 Jadi, nilai maksimumnya adalah -1 yaitu di titik R5,2

seorang petani anggrek membutuhkan pupuk sebanyak 9 kg